Des opérateurs logiques et des mots — “et”, “ou”, “si(-alors)” et la négation

Sommaire

Introduction

Le rapport entre logique et langage reste un sujet problématique. Les règles de la logique sont-elles calquées dans une certaine mesure sur celles du langage, ou bien est-ce ce dernier qui se plie à des lois “universelles” qui le dépassent? Quelle que soit l’hypothèse que l’on privilégie, il reste que logique et langage ne se recouvrent qu’imparfaitement.

Mon objet ne sera donc pas de débattre ici de ce qu’on pourrait appeler une “ontologie de la logique et du langage”, ou d’une quelconque précédence de l’un sur l’autre, mais bien de mettre en lumière quelques points de convergence et de divergence entre logique et langage. Ce travail sera donc assez largement descriptif, et je tenterai de tirer des conclusions se rapportant à l’ordre pratique plutôt qu’à l’être du langage ou de la logique.

Pour cela, je me concentrerai particulièrement sur quatre opérateurs de la logique des propositions et leurs pendants respectifs dans la langue naturelle, ainsi que sur la négation. J’emploierai le terme relativement neutre de “mot” pour faire référence à ces unités de la langue ordinaire – d’autres possibilités comme “connecteur” ou “conjonction” me paraissant trop chargées et spécifiques pour le contexte présent.

Ma source principale pour cette étude sera le travail d’Oswald Ducrot, qui a abordé certaines de ces questions depuis une perspective linguistique, en particulier dans La preuve et le dire. Je tiens à préciser que lorsque je semble aborder les choses soit “du point de vue de la logique” soit “du point de vue du langage”, il ne faut pas y voir une hiérarchisation “ontologique”, mais bien une nécessité d’ordre méthodologique. En effet, lorsque l’on compare deux termes, on peut difficilement éviter d’en prendre un comme norme, du moins temporairement.

Langage ordinaire et langage scientifique

La science s’approprie souvent des mots de la langue ordinaire en leur donnant une signification parfois plus restreinte, parfois élargie.

Pendant longtemps, la logique ne possédait pas de langage propre distinct. Elle utilisait des mots comme “et”, “ou”, ou encore “être” dans une acception particulière. Le développement de la logique formelle introduit des opérateurs symboliques et officialise en quelque sorte la différence entre cet usage “logique” de certains mots et leur usage “normal”.

L’opérateur symbolique de la logique des propositions retient uniquement le sens “logique” du mot, levant ainsi l’ambiguité pouvant être ressentie à cause de la coprésence du sens “courant” de ce mot lorsque l’on désire effectuer des opérations logiques. Le langage logique formel a assez vite acquis une autonomie par rapport à la langue naturelle dont il est historiquement issu, s’ouvrant ainsi la porte à des développements abstraits d’une plus grande subtilité et d’une plus grande clarté.

Les mots de la langue naturelle sont polysémiques, alors qu’un opérateur propositionnel n’a qu’une seule signification, très précise et restreinte, que l’on peut exprimer par une table de vérité. La logique a seulement une prétention à la vérité, à l’évaluation de la validité de ce qui est exprimé, alors que le langage ordinaire s’étend bien au-delà de ce domaine (avec, par exemple, la poésie). Il est donc clair que si l’on trouve dans les deux domaines des termes équivalents, leur visée sémantique ne pourra que présenter des différences. On cherche à comparer deux choses qui appartiennent à des domaines de sens différents.

Opérateurs et mots

La présente réflexion se situant dans le cadre de la logique des propositions, il convient pour commencer de faire deux remarques.

Premièrement, on admettra qu’une proposition dans la langue est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, dont on peut dire “elle est vraie” ou “elle est fausse”. On voit tout de suite que ceci écarte tout un pan non-vérifonctionnel du langage.

Deuxièmement, il se passe beaucoup de choses dans la langue à un niveau intra-propositionnel. Des mots comme “et” ou bien encore la négation relient rarement deux entités linguistiques que l’on peut immédiatement identifier à des propositions – ils agissent plutôt à l’intérieur de celles-ci.

Que la logique des propositions fasse preuve de certaines limitations lorsqu’elle est confrontée au langage ne signifie pas pour autant que d’autres développements de la logique ne pourraient pas offrir des façons plus satisfaisantes de modéliser le discours.[1] La logique des prédicats, par exemple, permet déjà de pénétrer cette “boîte noire” qu’est la proposition – elle inclut la logique des propositions (et donc une bonne part de ses caractéristiques), mais en même temps elle la dépasse.

Afin d’éclairer ce rapport entre logique et langage, j’ai donc choisi d’examiner un nombre limité de ces couples de termes “équivalents”:

  • “et” et la conjonction “et
  • “ou” et les deux disjonctions “ou” et “xou
  • “si(-alors)” (la question de la condition suffisante dans la langue) et la conditionnelle “si
  • la négation

Je n’aborderai pas dans l’étude des opérateurs celle de leur négation, car cela nous mènerait à des considérations trop complexes pour le cadre du présent travail.

Puisque les opérateurs logiques ont en général un sens mieux défini que les mots de la langue, ils seront présentés pour chaque couple en premier, à l’aide de leur table de vérité. Le deuxième volet de chaque partie, consacré au mot que l’on donne pour équivalent à l’opérateur, fera en même temps office de comparaison.

Conjonction

La conjonction et

pqpetq
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010
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Une conjonction petq est vraie si et seulement si les deux propositions p et q sont également vraies. Autrement dit, il suffit que l’une ou l’autre de ces propositions soit fausse pour que la conjonction résultante le soit aussi.

L’opérateur et est commutatif: la valeur de vérité de petq sera toujours la même que qetp. Il est aussi associatif: l’expression (petq)etr a la même valeur de vérité que pet(qetr).

“Et”

Comme déjà noté plus haut, les opérateurs propositionnels coordonnent des propositions. On se limitera donc à cet aspect et “et” dans la langue naturelle, et l’on n’abordera pas du tout, par exemple, son usage emphatique (“Et voilà!”). La langue – par souci d’économie – voit rarement “et” coordonner deux propositions explicitement complètes. Les situations que l’on rencontre ressemblent plutôt aux cas suivants:

  • (1) Jean a une voiture et un camion.
  • (2) Un groupe d’hommes et de femmes se rendra au ministère.
  • (3) Paul et Maurice ont un chien.
  • (4) Jacques porte un pull bleu et rouge.
  • (5) Lucie se leva et partit.

Certes, à partir de ces formulations elliptiques, on pourrait tenter de reproduire les propositions de départ:

  • (1′) Jean a une voiture et Jean a un camion.
  • (2′) Un groupe d’hommes se rendra au ministère et un groupe de femmes se rendra au ministère.
  • (3′) Paul a un chien et Maurice a un chien.
  • (4′) Jacques porte un pull bleu et Jacques porte un pull rouge.
  • (5′) Lucie se leva et Lucie partit.

On voit rapidement que l’opération réussit pour les phrases (1) et (5). Elle réussit partiellement pour la phrase (3): la phrase résultante ne transforme pas radicalement le sens initial, mais une information est perdue (il n’y a dans la phrase initial qu’un seule chien, alors que (3′) laisse entendre qu’il pourrait y en avoir deux, bien qu’elle soit strictement “vraie”). Pour les phrases (2) et (4), par contre, le problème est clair: “et” agit à l’intérieur de la proposition.

“Et” peut donc effectivement associer deux propositions, que l’on pourra rétablir à partir de leur forme elliptique, ou bien il peut agir à l’intérieur d’une proposition, d’une façon qui reviendrait (selon le langage de la logique des prédicats) à appliquer plusieurs prédicats à un objet.

La conjonction logique est commutative – c’est une de ses caractéristiques les plus évidentes. Il n’est pas difficile de trouver des cas en français où le “et” n’exprime pas de commutativité. Reprenons un exemple précédent:

  • (5′) Lucie se leva et Lucie partit.
  • (5”) Lucie partit et Lucie se leva.

La non-commutativité de “et” est due à son aspect chronologique, dont la conjonction est complètement dépourvue. Dans l’usage courant, “et” est d’ailleurs très souvent employé pour marquer une séquence d’événements, leur succession dans le temps.

Notons enfin que même lorsque l’on trouve dans la langue des cas paraissant illustrer parfaitement “petq”, le langage offre un surplus de sens. L’ordre n’est jamais anodin lorsque l’on parle, même si il n’est que conventionnel.

En fait, si l’on désire simplement associer la conjonction à quelque chose de plus familier et de déjà connu, on pourrait à juste titre dire que et se rapproche plus de l’addition mathématique “+” que de “et”.

Disjonction

La disjonction non-exclusive ou

pqpouq
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Pour qu’une disjonction non-exclusive pouq soit vraie, il suffit que l’une ou l’autre des deux propositions p et q soit vraie. Autrement dit, elle n’est fausse que si ni p ni q ne sont vraies. La disjonction non-exclusive est commutative et associative.

La disjonction exclusive xou

pqpxouq
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La disjonction exclusive pxouq est vraie uniquement si un seul des opérateurs p ou q est vrai. Une autre façon de poser cela est de dire qu’elle est vraie uniquement si les valeurs de vérité de p et de q sont différentes. Ou bien qu’elle est fausse si p et q ont la même valeur de vérité.

Comme les deux autres opérateurs vus précédemment, elle est commutative et associative.

“Ou”

Comme il a été noté lors du traitement de “et”, les énoncés reliés par “ou” sont des propositions elliptiques, que l’on peut assez facilement reconstituer (du moins dans les exemples choisis ci-dessous). Les situations rencontrées où “et” fonctionnait à un niveau intra-propositionnel ne semblent pas donner lieu aux mêmes difficultés avec “ou”:

  • (6) Un groupe d’hommes ou de femmes se rendra au ministère
  • (6′) Un groupe d’hommes se rendra au ministère ou un groupe de femmes se rendra au ministère.

On traduit en général la disjonction par “ou” dans la langue, admettant que celle-ci ne marque pas de façon décisive la distinction entre exclusivité et non-exclusivité (du moins en français). Lorsque l’on désire marquer une différence entre les deux formes de disjonction, on peut utiliser une expression comme “soit… soit…” ou bien “… ou… mais pas les deux” – qui ont soit dit en passant un champ d’application vraiment très proche de celui de l’opérateur logique – laissant à “ou” son sens non-exclusif.

Mais qu’en est-il véritablement de ce “ou”? Le sentiment courant est qu’il est le plus souvent exclusif. Prenons quelques exemples:

  • (7) C’est un chien ou un chat.
  • (8) Benjamin aura une sucette ou un bonbon.
  • (9) La bourse ou la vie!
  • (10) Pierre ou Paul se rendra à la conférence.

Dans une lecture “non-savante” de ces énoncées, on tendra à attribuer spontanément à “ou” un sens exclusif. Voyons pour quelles raisons.

L’exemple (7) présente un cas relevé entre autres par Quine comme responsable d’une surévaluation de l’importance du “ou exclusif” dans la langue. En effet, l’incompatibilité n’est pas véhiculée par “ou”, mais bien par la nature des deux énoncés qu’il relie. “C’est un chat” ne peut pas être vrai en même temps que “c’est un chien”. Dans ce cas, on pourrait dire de “ou” qu’il est indéterminé: aucune différence de sens ne surviendra, selon qu’on le comprend comme exclusif ou non.[2]

Les trois exemples suivants sont moins évidemment exclusifs que le premier, ce qui est au fond bien normal puisque l’incompatibilité n’est plus marquée aussi fortement. Pour trancher entre exclusivité et non-exclusivité (bien que souvent il ne soit pas possible de le faire radicalement), il est nécessaire de faire intervenir les motivations du locuteur: s’agit-il de mettre l’accent sur le fait que l’un des deux énoncés au moins est vrai, ou bien sur le fait qu’ils ne sont pas tous deux vrais en même temps?

Pour les énoncés (8) et (10), il s’agit plutôt du second cas. Si Benjamin a été sage et que l’on dit que “Benjamin aura une sucette ou un bonbon”, cela indique bien qu’il n’aura pas les deux. De même, si l’on demande qui ira à la conférence et que l’on répond que “Pierre ou Paul se rendra à la conférence”, on ne s’attend pas à ce qu’ils s’y rendent tous deux. Selon le contexte pourtant, la présence simultané de Pierre et Paul ne sera pas sentie comme une invalidation de l’énoncé (10) – alors ce qui ne serait pas le cas pour (8).

Pour préciser notre analyse de (10), il faudrait savoir si Pierre et Paul désirent tous deux se rendre à la conférence – dans quel cas l’énoncé servirait à marquer l’impossibilité qu’ils s’y rendent les deux – ou bien si assister à la conférence représente une corvée dont personne ne veut se charger – dans quel cas on indique bien que l’un ou l’autre cas se produira. Quelle que soit la situation, on voit en fait que “ou” ne porte pas en lui-même d’exclusivité, pas plus que de non-exclusivité. C’est aux mots qui l’accompagnent et au contexte de la situation d’indiquer cette nuance.

En ce qui concerne (9), nous n’avons certainement pas affaire à une disjonction exclusive, bien que la menace mette l’accent sur le fait que l’une ou l’autre des conditions peut suffir à satisfaire le bandit (“la bourse”). Mais il est tout à fait possible que les les deux se produisent (“la bourse et la vie”). En fait, cet énoncé très elliptique et clairement non symétrique (“la bourse” et “la vie” ne sont pas mis sur un pied d’égalité) serait peut-être plus adéquatement analysé comme une conditionnelle:

  • (11) Si vous ne me donnez pas la bourse, alors je vous prendrai la vie [et la bourse].

Si la disjonction exclusive peut trouver une traduction tout à fait satisfaisante dans la langue en l’expression “soit… soit…”, la disjonction non-exclusive ne saurait se traduire sans ambiguité par “ou”. Il faudrait pour être précis employer une formulation du type “… ou… ou les deux”. “Ou” en lui-même n’est pas déterminé (quant à l’exclusivité), et c’est au contexte qu’il faut se rapporter pour en décider. Il est alors rare que les trois possibilités (l’un, l’autre, les deux ensemble) soient présentées comme équivalentes, comme c’est le cas en logique: la langue met souvent en avant une nuance exclusive ou une nuance d’”exigence minimale”, sans pour autant exclure les autres possibilités.

Conditionnelle

L’opérateur conditionnel si

pqpsiq
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La conditionnelle psiq est vraie lorsque l’antécédant p est faux ou bien lorsque le conséquent q est vrai. Elle n’est fausse que lorsque q est vrai sans que p le soit. On retrouve cette même idée à la base du syllogisme: un raisonnement valide ne peut permettre de déduire du faux à partir du vrai. Le faux peut nous amener à dire du vrai ou du faux, mais le vrai ne doit amener qu’au vrai.

A la différence de la conjonction et de la disjonction, l’opérateur conditionnel n’est ni commutatif, ni associatif. En effet, nous voyons que l’ordre des propositions p et q a son importance pour cet opérateur. psiq n’est pas équivalent à qsip.

Ducrot présente cet opérateur comme “condition suffisante”: dire que p est condition suffisante de q, c’est bien dire que l’on ne peut pas avoir à la fois p vrai et q faux. Cette façon d’aborder l’opérateur sera fort utile pour son traitement “dans la langue”.

“Si(-alors)”[3]

L’opérateur conditionnel est celui dont la “traduction” en langue naturelle pose le plus de problèmes. D’une part parce que bien plus que “et” et “ou”, “si” présente une multitude de sens “non-logiques”, et d’autre part parce que l’on met pied sur le territoire de la causalité, domaine complexe et souvent très flou dans le langage. Mais plus encore que ces deux raisons, la source principale de difficultés avec cet opérateur vient du fait qu’il n’existe pas en français de manière simple de rendre compte de cette notion de “condition suffisante”, et qu’on lui donne pour équivalent des expressions qui ont souvent une valeur assez différente.

“Si p, (alors) q” est relativement satisfaisant pour exprimer l’idée de condition suffisante; cependant il y a quand même certaines différences essentielles entre les deux.

Tout d’abord, lorsqu’en français on dit “si p, q”, on pose “p est vrai” comme déterminant l’univers du discours. Les deux cas de figure où p n’est pas vrai ne sont simplement pas pris en considération. Lorsqu’on assimile “si(-alors)” à “si“, on assume simplement que l’expression a une valeur de vérité vraie dans ces deux cas non définis. Du coup, on étend le champ d’application de “si” à l’extérieur de son univers de discours initial.

Ensuite, l’expression “si p, q” pose en général p comme précédant d’une façon ou d’une autre q (logiquement ou chronologiquement) – p semble entraîner q plutôt que le supposer vrai au préalable. La conditionnelle logique ne suppose pas un tel rapport, et semble donc plus “faible” à cet égard.

Finalement, l’usage habituel tend à percevoir “si p, q” non seulement comme condition suffisante mais aussi comme condition nécessaire.

  • (12) S’il pleut, je resterai.

Dans cette exemple, on ne s’attend pas à ce que l’énonciateur reste s’il ne pleut pas, bien que cela soit “logiquement” admissible. Ducrot explique ce phénomène par la “loi d’exhaustivité”, qui veut que, parlant d’un certain sujet, on donne à son interlocuteur les informations les plus fortes dont on dispose et qui sont censées l’intéresser. L’énoncé (12) n’aurait pas de raison d’être si je compte rester de toute façon. On aurait alors quelque chose de la forme:

  • (12′) S’il pleut, en tous cas, je resterai.

Même si “si(-alors)” est la meilleure “traduction” que l’on puisse faire de la conditionnelle, on voit que l’écart est bien plus grand qu’entre “et” et “ou” et leurs homologues respectifs. Alors qu’avec ces derniers on a plutôt l’impression que l’opérateur logique “restreint” le sens du mot, la conditionnelle encourage à étendre le sens de “si” pour englober la notion de “condition suffisante” – qui ne se retrouve pas en tant que telle dans la langue.

Négation

L’opérateur unaire ~

p~p
10
01

L’opérateur négation ~ transforme la valeur de vérité d’une proposition. Si p est vraie, ~p sera fausse et vice-versa. A l’aide de cette règle, on peut trouver des expressions permettant de simplifier des propositions complexes comme ~(petq) ou encore [(petq)si~(rets)].

La négation

Dans la langue, la négation est multiforme. Elle peut s’appliquer aussi bien à la phrase entière (“négation de phrase”) qu’à une partie d’elle (“négation de prédicat”).

  • (13) Quelques élèves n’ont pas assisté au cours.
  • (14) Jean ne viendra pas.
  • Si l’on supprime la marque de négation de ces deux phrases, voici ce que l’on obtient:
  • (13′) Quelques élèves ont assisté au cours.
  • (14′) Jean viendra.
  • Si (14′) est clairement la négation de la phrase (14), l’exemple (13) fait apparaître un cas de négation de prédicat: (13′) n’a pas une valeur de vérité opposée à (13).

La négation dans la langue agit aussi de façon différente, selon qu’elle est associée à un mot de connotation négative ou positive:

  • (15) Jean est gentil.
  • (15′) Jean n’est pas gentil.
  • (16) Paul est méchant.
  • (16′) Paul n’est pas méchant.

La négation de “gentil” a plus de force que celle de “méchant”. On comprend en effet (16′) comme “Paul est non méchant”, alors que le sens de (15′) se rapproche fortement de (16). La négation n’agit pas de façon symétrique sur les deux membres d’un couple d’opposés.

Une autre caractéristique de la négation dans la langue est qu’elle n’est pas purement additive, même si en général on l’identifie à l’adjonction de “ne… pas…” à un énoncé.

  • (17) Il n’a pas mangé grand chose.
  • (17′) *Il a mangé grand chose.

On voit bien dans l’exemple ci-dessus que l’énoncé (17) n’a pas été obtenu en ajoutant simplement une marque de négation à une hypothétique forme (17′).

A la différence de la langue, la logique des propositions ne connaît que la négation de phrase, et celle-ci est purement additive. La négation est univoque, sans nuances ni degrés de force.

Conclusion: logique et langage

Cette petite étude est loin d’être exhaustive, mais elle a quand même permis de mettre en lumière certains axes sur lesquels se situent les écarts entre langage logique et langue naturelle.

Le langage naturel jouit d’une certaine organicité. Les mots de la langue prennent sens par leur contexte – le sens qu’ils ont en eux-même est flou, variable. Les opératuers logiques, par contre, ont un sens déterminé, constant.

Les propositions dans la langue ont du sens en elles-mêmes, sens qui peut contribuer à renforcer ou contrecarrer le rôle d’un “opérateur”. Par exemple, en ce qui concerne les propositions incompatibles et ou non-exclusif, on pourrait considérer que le sens interne d’une proposition contient implicitement une déclaration spécifiant “p est incompatible avec q”. En logique des propositions, les propositions sont toutes interchangeables avant que l’on se mette à les combiner avec des opérateurs. Dans la langue, elles portent un sens spécifique qui les rend non-interchangeables.

Tout comme les mathématiques, la logique est une discipline qui exerce les structures mêmes de pensée qui sont mises à contribution lors de l’élaboration et l’analyse de raisonnements dans le discours. Comme les mathématiques également, l’abstraction de la logique la rend parfois difficile d’accès pour le néophyte, et lui vaut la réputation de n’avoir que peu d’utilité véritable dans le monde pratique.

A la différence cependant des mathématiques, la logique se présente d’emblée comme une tentative de modéliser le raisonnement, suggérant ainsi une possibilité immédiate d’application pratique. Mais comme le montrent les cas étudiés plus haut, la rapport de la logique à  la langue naturelle est loin d’être simple et est souvent passé sous silence – ce qui maintient une certaine confusion concernant la “validité” de cette potentielle application pratique.

Certains termes “hybrides” semblent faire le pont entre les deux discours (celui de la logique et celui du langage quotidien); ils ont en fait un champ d’application (un sens) différent dans l’un et dans l’autre. On ne pourra pas traduire “Il se coucha et il s’endormit” par “petq” – pour prendre un exemple évident. Expliciter ces différences de sens permet de mieux discerner les particularités d’application du langage logique, à  plus forte raison puisque l’apprentissage et l’enseignement de la logique formelle passe par le langage. Même si l’on définit rigoureusement les opérateurs de la logique des propositions, on les désigne par oral avec des mots comme “et” ou bien “si… alors”. Ceci est une source courante de confusion chez les apprentis logiciens, qui essaient tant bien que mal de faire coincider “si p, alors q” avec leur expérience de cette expression dans la langue de tous les jours.

Notes

[1] Il reste cependant douteux que le langage puisse être entièrement formalisé – nous voyons à  ce propos la peine qu’ont les logiciels de traduction (qui doivent passer par une interprétation “mécanisée” de la langue) à  produire des résultats satisfaisants.

[2] Ducrot p. 97, Quine p. 21.

[3] Cette partie est basée presque entièrement sur Ducrot, chapitre VII.

Références

Forest Robert, Négations, Paris: Klincksieck, 1993

Quine W.V.O, Méthodes de logique, Paris: Armand Colin, 1973

Ducrot Oswald, La preuve et le dire (en collaboration avec M. C Barbault et J. Depresle), collection Repères, Maison Mame, 1973

Allwood Jens, Andersson Lars-Gunnar, Dahl Östen, Logic in Linguistics, Cambridge University Press, 1977

Hamill James F., Ethno-Logic, University of Illinois Press, 1990

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